Das Abtasttheorem (Nyquist-Shannon-Abtasttheorem, auch WKS-Theorem nach Whittaker, Kotelnikow und Shannon) beantwortet die Kernfrage der Abtastung: Wie oft muss ein Signal abgetastet werden, damit es sich aus seinen Abtastwerten verlustfrei rekonstruieren lässt? Die Antwort: Ein bandbegrenztes Signal mit der Maximalfrequenz fmax ist aus Abtastwerten exakt rekonstruierbar, wenn die Abtastfrequenz fs mindestens doppelt so hoch ist — fs ≥ 2 · fmax.
Nyquist-Frequenz und Rekonstruktion
Die Hälfte der Abtastfrequenz heißt Nyquist-Frequenz. Sie markiert die höchste Frequenz, die nach der Abtastung noch eindeutig repräsentiert ist. Bei idealer Bandbegrenzung lässt sich das Signal durch Interpolation mit der sinc-Funktion exakt zurückgewinnen. Benannt ist das Theorem nach Harry Nyquist (1928) und Claude Shannon (1949) — Shannon begründete damit zugleich die Informations- und Kanalkapazität.
Grenzen des Theorems
Das Abtasttheorem gilt nur für bandbegrenzte, zeitlich unbegrenzte Signale ohne Unstetigkeiten. Reale Signale werden deshalb vor der Abtastung durch einen Tiefpass bandbegrenzt. Wird die Bedingung verletzt, entsteht Aliasing: Hohe Frequenzanteile falten sich in den Nutzbereich und lassen sich nicht mehr vom Originalsignal unterscheiden.
Beispiel Audio-CD
Der hörbare Bereich reicht bis 20 kHz. Die doppelte Frequenz ergibt 40 kHz; die CD verwendet 44,1 kHz, um neben der Filterflanke noch eine Reserve zu haben. Auch bei der Puls-Code-Modulation und der Quantisierung ist die korrekte Abtastrate die Grundvoraussetzung für ein sauberes digitales Signal.
Verwandte Grundlagen: Abtastung, Aliasing, Kanalkapazität, Quantisierung.