Das Shannon-Hartley-Gesetz ist die zentrale Formel der Informationstheorie für die Übertragung über verrauschte Kanäle. Es wurde von Ralph Hartley (1928) vorbereitet und von Claude Shannon (1948) zur heute bekannten Form erweitert: C = B · log2(1 + S/N). Damit berechnet es die Kanalkapazität C eines Kanals aus seiner Bandbreite B und seinem Signal-Rausch-Verhältnis S/N.
Was sagt die Formel aus?
Der Kanal wird als idealisiertes Modell mit additivem weißem gaußschem Rauschen (AWGN) angenommen. Der Term log2(1 + S/N) ist die spektrale Effizienz in bit/s pro Hertz. Ein SNR von 0 dB (S/N = 1) liefert 1 bit/s/Hz, ein SNR von 10 dB (Faktor 10) rund 3,46 bit/s/Hz und ein SNR von 20 dB (Faktor 100) rund 6,66 bit/s/Hz. Jede Verdopplung der Bandbreite verdoppelt die Kapazität, jede Verbesserung des SNR um 3 dB addiert nur etwa 1 bit/s/Hz.
Grenzfälle
Bei sehr kleinem SNR lässt sich die Formel zu C ≈ 1,44 · B · S/N vereinfachen, weil log2(1 + x) ≈ x · 1,44 für kleine x gilt. Bei unendlicher Bandbreite strebt die Kanalkapazität gegen einen endlichen Grenzwert, der nur noch vom SNR pro Hertz abhängt — mehr Bandbreite hilft dann nicht mehr weiter, weil auch das Rauschen mitwächst.
Warum es so wichtig ist
Das Gesetz liefert die harte Obergrenze für jede digitale Übertragung: Unterhalb der errechneten Kapazität ist fehlerfreie Übertragung mit geeigneter Codierung prinzipiell möglich, oberhalb prinzipiell unmöglich. Die Shannon-Grenze der Kanalcodierung ist die direkte Folgerung daraus. Praktische Systeme messen ihren Abstand zur Theorie über die spektrale Effizienz: WLAN erreicht im Idealfall einige bit/s/Hz, moderne Verfahren kommen mit immer besserer Kanalcodierung näher an das theoretische Limit.
Verwandte Grundlagen: Kanalkapazität, Signal-Rausch-Verhältnis (SNR), Kanalcodierung, Bandbreite.